Добрый день. Если мужчина оставит Вам завещание,и его никто не оспорит,у вас будет 1/2 доля в квартире,и возможность договариваться с другими наследниками. Если у него есть нетрудоспособные родители или дети,они,так же,могут претендовать на часть квартиры,даже при наличии завещания.

Если вступите в права наследования, то станете точно таким же собственником, с такими же правами и обязанностями как и любой другой собственник. При таком раскладе никто Вас выгнать юридически уже не сможет, физически - тут уже все зависит от Ваших моральных устоев и готовности защищать себя и свои права.
Само по себе завещание не может быть 100%й гарантией того, что Вы станете собственником обозначенного в нём имущества. Завещание можно переписать/отменить (и Вы об этом даже не узнаете до момента Х), оспорить, признать недействительным и пр. Кроме того, в наследовании есть нюансы. Например, понятие обязательной доли.
По вопросу ремонта: делайте, но на свой страх и риск. Скорее всего, это будут только Ваши вложения.

Дополню коллег- когда будете делать ремонт, то сохраняйте все чеки! Также если Вы оплачиваете ВСЕ коммунальные услуги ЗА ВСЮ квартиру- тоже их сохраняйте! На тот случай, если дело дойдет до суда- у Вас будет выгодное положение, ибо на ВСЕХ собственниках лежит обязанность оплачивать коммунальные платежи и если внучка не оплачивала ничего, то для Вас это может быть большим плюсом.

Никто не выгонит, но после смерти деда делить имущество с другой наследницей все же придётся. Сделать ремонт в квартире смысл есть. Вам там самой будет приятнее жить, да и продать квартиру для раздела будет проще.