Нужно посмотреть наличие паспортов и виз, регистрация у них есть (сами же написали). Новорожденного зарегистрирует работодатель, там, где зарегистрированы родители.

Нужно проверить его документы и работодателя. Отсюда и плясать. Вариантов масса. Ребёнок не при чем)

Пребывание иностранцев отличается от порядка пребывания гр-н СНГ. Виза является более серьёзным моментом и до конца срока визы у иностранца никто не спросит про регистрацию по всей территории РФ. Если регистрация нужна ему - это другой разговор.

В ФНС (Федеральная налоговая служба) регистрировать товарища не нужно, да и полномочий таких у наймодателя нет. Что касается вопроса регистрации по месту пребывания (временная регистрация, т.е. то, чем занимается МВД), то эта обязанность возложена на наймодателя. Иностранные граждане, временно пребывающие в РФ, а равно постоянно или временно проживающие в РФ, при нахождении в месте пребывания, не являющемся их местом жительства, обязаны встать на учет по месту пребывания. Проживают в Вашей квартире, значит зарегистрироваться они должны именно в ней, а не где-то там, где их зарегистрировал работодатель.

на самом деле вам повезло, европейцы в москве в массе своей аккуратные и платежеспособные люди. проверьте регистрацию. он, часом, не преподаватель-носитель в языковой школе?

Если сильно подозрительный гражданин, то я бы порекомендовал заключить договор с юрлицом(работодателем) или его руководством, у которого имеется российское гражданство, так как в случае судебных споров судится Вы будете непонятно с кем.... Налоги конечно придется при этом заплатить(еслли с юрлицом), но при этом перестрахуетесь.
В остальном Арман написал понятно, соглашусь с ним.