Ситуация непростая. Отказ от наследства под условием (выплаты денежной компенсации) не допускается законом (ст. 1158 ГК РФ), строго по закону - вступить в наследство, продать долю тёте. Обходной вариант в "одно действие" - закладка суммы-компенсации доли в банковскую ячейку под условие доступа - ЕГРН на тётю, согласно которой она будет 100% правообладателем, племянник отказывается от наследства, тётя регистрирует право на себя, племянник получает доступ, но это нарушение ст. 1158 ГК РФ. Можно сделать через соглашение о разделе наследственного имущества после получения свидетельства о праве на наследство, также с закладкой под ЕГРН на тётю. Но 100% законный способ - только продажа доли. Не забывайте о возникающих при этом налогах. Если племянник захочет "подарить" долю тёте, налог будет уже у нее, нюансов очень много...

Так он пропусти срок на вступление или нет?

Александр, правильно, наверняка и без проблем поступить нужно так, как подсказывает логика. У него есть право на 1/3 доли в общем праве, это право не оспаривается. Далее два варианта.
Первый. Продавать квартиру сообща и делить деньги пропорционально долям в общем праве.
Второй. Он оформляет на себя 1/3 и продает ее собственнику 2/3 долей. Стоимость - как договоритесь, но занижать ее в пользу собственника 2/3 несправедливо.
Вышеизложенное самые правильные способы решения сложившейся проблемной ситуации, основанные на трезвом мышлении, без эмоций и многолетнем опыте работы. Можно сопротивляться, можно доказывать свою правоту, можно уповать на произведенные в квартире улучшения, но все это, как минимум, приведет в растягиванию процесса во времени, и, как максимум, к утрате возможности приобретения 100% права на квартиру. Захочет, продаст кому угодно. Разрешения для этого не требуется (достаточно только официально уведомить).

Здравствуйте, как следует из вопроса свое свидетельство о праве на 2\3 доли сестра уже получила, значит племянник уже пропустил срок для отказа от наследства, так как отказ возможен только в течении срока, установленного для принятия наследства (ст. 1157 ГК). Поэтому племяннику надо: 1. получить свое свидетельство на долю в наследстве, 2. зарегистрировать свое право, 3. установленными законам способами предложить тете выкупить свою долю, И только после этого он может предлагать свою долю третьим лица.
Законных способов защиты очень много от прекращения права пользования жилым помещением до принудительного выкупа доли, но все они через суд. Можно попытаться заключить медиативное соглашение, но для него обязательно добровольное участие спорящих сторон

Александр, если я правильно понял постановку вопроса, она следующая. Умерли бабушка и дедушка (расписываем, что бы было понятно). У них было два сына и дочь. Один из братьев ранее умер, но у него есть сын, который и получает свою долю по праву представления (отец умер). Если я всё правильно понял, то:
1. Этот племянник имеет имеет право на 1/3 (по праву представления).
2. Дочь наследницы может делать ремонт без всякой опаски маминой 2/3, если доли выделены. Если доли не выделены, то тоже может, только собирая документальные свидетельства затрат на ремонт (договора, чеки и пр.) по увеличению стоимости недвижимости.
3. По закону он (племянник) обязан в первую предложить другому собственнику выкупить свою долю, с фиксированной ценой (т.е. он не может предложить Вам свою долю за 10 млн, а продать потом на сторону за 500 тыс). Такая сделка в дальнейшем расторгается в суде.
4. Лишить его права или возможности на 1/3 не возможно. Надо разговаривать с ним по нормальному и объяснять с цифрами в руках что он может получить со своей доли. А устных договорённостей надо избегать и всё фиксировать письменно.