Настя, без согласия тёти сдать не можете, обязать купить у Вас свою долю тоже не можете.
Можете продать третьим лицам, но много денег не получите и перед продажей обязаны сделать официальное предложение тёте с текстом о выкупе согласно статьи 250 ГК РФ.
Самое разумное решение - это уговорить тётю продать квартиру целиком, закрыть долги по ЖКХ, а остаток денег поделить между собой.

Если у тетя своя квартира и Вы там не живете, то нельзя ли сдать "яблоко раздора" хотя бы за небольшие деньги, чтобы не увеличивался долг и гасить потихоньку уже имеющийся.

Странное соглашение о выкупе доли, с последующим погашением задолженности? Почему сразу не купить долю, вычесть и оплатить сумму долга, а остаток денежных средств отдать вам? Думаю, что самое разумное, это совместно продать квартиру, закрыть долги и разделить деньги. Потому, что вы, к сожалению, не сможете единолично распоряжаться своей долей и пока не решите вопрос, с вас будут взыскивать денежные средства за ЖКХ. Продать свою 1/2 можете третьему лицу, с согласия своей тети. Но вы же понимаете, что прежде всего, продаете проблему, в лице своей тети, новому собственнику, поэтому полную стоимость вашей доли, вам вряд ли кто-то заплатит. Это будет примерно половина рыночной цены, не более. Удачи вам, в разрешении вашего вопроса, надеюсь вам удастся договорится с тетей мирным путем!

Здравствуйте. Логика в выкупе и погашении долга частями не просматривается. Это Ваш долг и никуда он сам собой не исчезнет. У нового собственника применительно к Вашей ситуации обязанность по внесению платы за коммунальные услуги возникает только с момента государственной регистрации права. Фактически она может купить, долг не погасить и он так и станется за Вами.
Если она хочет выкупить, то следовательно деньги есть, а значит погасить существующий долг можно этими деньгами. Логично же. Технически организовать это возможно. Также можно использовать другие инструменты организации взаиморасчетов по сделке, которые будут стимулировать Вас исполнить свои обязательства по оплате коммунальных услуг. Например, ограничение доступа к деньгам условием погашения долгов.
По вопросам.
1) Сдать в аренду/найм не можете, для такого действия необходимо согласие всех участников общей долевой собственности.
2) Можно попробовать, но не факт, что получится. Тут все же необходимо реальное желание тети и наличие у нее денег. Есть вероятность, что в процессе суда она одумается и Вы прийдете к какому-то мировому соглашению по предмету спора. Суду Ваши "разборки" малоинтересны, суд будет общаться с Вами по существу и без эмоций. Возможно такой подход и позволит решить проблему.
Про препятствование в пользовании Вашей долей. И в чем это препятствование заключается? Вас не пускают в квартиру? Выгоняют? Меняют замки? К Вам применяют физическую силу? Вам угрожают? Любой факт необходимо доказать, одних заявлений недостаточно.
Можете попытаться продать свою долю. В этом праве Вас точно никто ограничить не может. Вопрос только в том, что это: а) сложно; б) невыгодно по деньгам. Подробнее про продажу доли в общем праве можете почить в Гражданском кодексе РФ, ст. 250.