"Возможно ли продать эту квартиру?" - теоретически, конечно, возможно все... но будет очень непросто;
"И с чего начать? Ипотека не погашена." - с гашения ипотеки и выделения долей детям. после этого или узаканивать перепланировку, или продавать как есть невзыскательному покупателю без ипотеки (или имеющему договоренности с оценщиками);
"Есть возможность выделить детям доли в другой квартире" - опека не даст добро на это. по крайней мере в крупных городах такое точно не проходит;
"Квартира находиться в другом регионе от сегодняшнего места проживания" - ну в любом случае придется выезжать на место для решения вопросов с банком. саму-то продажу теоретически можно организовать и удаленно, через доверенного человека или надежного агента. но после этого нужно будет и на сделку еще ехать. у вас речь идет о смежных регионах или расстоянии между калининградом и владивостоком?

У Вас обязательство о выделении долей именно в этой квартире, вариант с другой квартирой не прокатит

В регионах чаще разрешает опека предоставлять доли в других имеющихся квартирах, нужно пробовать. Но сначала решить проблему с ипотекой и выделением долей.

Вам следует гасить ипотеку и выделять доли всем членам семьи. Тем более решение суда на руках. Потом проходить опеку и получать разрешение на продажу с одновременной или последующей покупкой другой недвижимости, где дети будут владеть собственностью. В опеку нужно обращаться по месту регистрации несовершеннолетних.
Сделку по продаже необходимо проводить у нотариуса.