Вам нужно обратиться к нотариусу по последнему месту жительства мамы и открыть наследственное дело с целью получения свидетельства о праве на наследство на долю квартиры и иное имущество, если есть.
Сделать это нужно до истечения 6-мес срока со дня смерти.
Собой возьмите паспорт, свидетельство о смерти, выписку из домовой книги, документы подтверждающие ваше родство с мамой и документы на квартиру.
Далее нотариус вам всё расскажет, что нужно делать.

Главное для Вас: сходить к нотариусу нужно ДО истечения 6 месяцев, а не после, как думают многие. Выписка из домовой- это в Вашем городе обычная Ф-9, все не трудно собрать. Нотариус- любой в городе на Ваше усмотрение. А уже после 6-ти месяцев получите свидетельство о наследстве, отнесете копии в ЖЭУ но не обязательно, Вы и так там собственником значитесь уже

Спасибо отвечающим, дополняю информацию:

- завещания нет
- мама была в разводе с 80-х годов
- в других браках мама не состояла
- братьев и сестер у меня нет

если вместе были зарегистрированы, то можно и не спешить в течение полгода, - наследство не убежит, если не было завещания на долю, а в случае завещания вспоминайте, есть ли у Вас статус инвалида, пенсионера или иной другой, подтверждающий право на обязательную долю в наследстве. Коэффициент вероятности появления иных наследников первой очереди повышается в зависимости от статуса гражданского состояния - в браке ли была мать на момент смерти?, есть ли другие дети, кроме Вас, т.е. родные и усыновленные родителями братья и сестры. Наследство вообще штукатень интересная)

Нужно идти к нотариусу и принимать наследство. Наследники первой очереди- родители, дети, переживший супруг. Кроме вас есть ещё наследники?

"Кроме того, я слушала, что вступить в наследство на мамину долю я могу не ранее чем через поолгода после ее смерти." - через полгода после ее смерти вы сможете стать собственником ее доли ЕСЛИ НЕТ ДРУГИХ наследников первой очереди (мужа мамы, ваших братьев и сестер, в том числе внебрачных). для того чтобы официально стать собственником, вам нужно получить свидетельство о праве на наследство и по нему переоформить ее дольку на себя. получение свидетельства и дальнейшее переоформление возможно как раз по истечении 6 месяцев со дня ее смерти. а пот подать документы нужно ДО этого срока. причем если вы хотите вступить в права именно спустя 6 месяцев, а не позже - то лучше подать минимум за полтора месяца до истечения этого шестимесячного срока.
еще из юридически значимых действий - если ваша мама была прописана в этой квартире, то не забудьте ее выписать (впрочем, вам об этом скажет нотариус в любом случае).