Я как продавец так делала заранее (выписалась и сделала временную регистрацию по тому же адресу) из таких соображений: у нас для выписки забирают паспорт на 7-10 дней, а он может понадобиться при сборе документов и чтобы оперативно можно было выйти на сделку

"но уже сейчас риэлтор попросил нас сделать временную выписку из квартиры и и сразу же временную прописку в нашу же квартиру??? - зачем это делается, правомерно ли это?" - правомерно, но я бы на вашем месте не делал этого. это делается для того, чтобы риэлтор мог говорить потенциальным покупателям что квартира юридически свободна и из нее все выписались. тем самым облегчить себе работу. хотя прекрасно можно говорить, что в квартире прописаны собственники, но выписка будет до сделки. но тогда надо объяснять бестолковым покупателям схему как это делается. а ему лень возиться;
"Вопрос: при временной выписке из квартиры и потом сразу же при временной прописке в квартиру – должны ставиться какие- то печати в паспорт?" - в паспорт ставится печать что вы сняты с регистрационного учета по данному адресу;
"Ели нет, выдаются ли каике-то документы?" - выдается свидетельство о временной регистрации; "Кто их должен получить в руки – хозяин квартиры или риэлтор?" - ну естественно хозяин квартиры;
"Что должно быть там написано и какие печати быть в документе?" - загуглите, увидите образец как это выглядит;
"И поскажите пожалуйста, что это - риэлтор запрашивает «Архив» по квартире?" - архивная выписка из домовой книги. расширенный вариант обычной выписки. в обычной указаны все прописанные, имеющие права пользования и тд на текущий момент, а в архивной - все с момента самого первого заселения в квартиру (по сути, постройки дома).

Александр, нет такого понятия, как временная выписка, но есть понятие регистрация по месту пребывания (в народе, временная прописка). Ваш агент предлагает прекратить регистрацию по месту жительства (в народе, постоянная прописка), а потом зарегистрироваться в собственной квартире по месту пребывания (временно). Достаточно странный, но вполне предсказуемый и на мой взгляд глупый ход. По крайней мере, есть ощущение того, что риэлтор не чувствует Ваших настроений и в целом логику настроений всей сделки. Попробуйте найти ответы в агентстве, задавайте много вопросов и требуйте максимально подробно описать пошаговую последовательность сделки и если после разъяснений не придёт понимание, то наймите сопровождающего, который либо объяснит лучше, либо предаст больше уверенности. Немного сложновато комментировать чужую сделку, да ещё с региональным колоритом. Необходимо погрузиться в процесс, иметь больше информации.